Конспект степенная функция ее свойства график. Конспект урока по Математике "Степенная функция, её свойства и график"

Конспект урока по математике по теме «Степенная функция, её свойства и график»

Преподаватель математики ГБПОУ МО «СТТ»

Голубева Наталья Борисовна

Дата урока

Формирование языковой, коммуникативной и информационных общих компетенций.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения задач.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с учителем, товарищами.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи личностного развития, заниматься самообразованием.

Структура урока

1. Организационный этап (1 мин)

Заполнение журнала, отметка присутствующих на уроке, проверка готовности учащихся к уроку.

Ход урока

2. Этап подготовки к активному сознательному усвоению знаний 5 мин

Повторение основных понятий.

3. Этап усвоения новых знаний 14 мин

Сегодня на уроке мы повторим и систематизируем наши знания по теме «Степенная функция». Слайд 3. С седьмого класса мы изучили множество функций, графики которых вы видите на слайде.

Что объединяет все эти функции?

Все эти функции являются частными случаями степенной функции.

Дадим определение степенной функции.

у = х р , где р – заданное действительное число.

Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р .

Сейчас каждый из вас будет оформлять опорный конспект по теме «Степенная функция». Заполнив этот конспект, вам будет удобно использовать его при подготовке к уроку. В опорном конспекте уже даны эскизы графиков. Ваша задача: сформулировать свойства функций и сделать записи в конспекте.

Слайды 5-17 . Фронтальная работа с классом. Оформление записей в «Опорный конспект» (приложение 1). Перечисляем свойства функций по следующему плану.

Область определения.

Область значений (множество значений).

Четность, нечетность функции. Графическая иллюстрация четной, нечетной функции. Аналитическая запись свойства четности, нечетности.

Записываем промежутки возрастания и убывания функции.

Во время фронтальной работы обращаю внимание на возможные варианты записи ответов в виде промежутков или неравенств. На слайдах 6, 8, 10, 12, 14, 15 демонстрирую, как изменяется вид графика при изменении показателя степени р.

4. Этап закрепления новых знаний 10 мин

Закрепление изученного материала. Решение упражнений из учебника.

Мы вспомнили функции, которые нам знакомы, и увидели новые графики. Проверим, как вы усвоили новый материал. Проведем тест соответствия.

На партах у учащихся лежат набор карточек с формулами функций (приложение 3). Эскизы графиков воспроизводятся с помощью презентации. К доске приглашается по очереди 7 учащихся, которые должны привести в соответствие эскизы графиков и карточки с формулой, комментируя свой выбор. Ученик с помощью магнитов закрепляет таблички с формулами рядом с соответствующим номером графика.

Набор формул для учащихся.

у=х -0,4

5. Самостоятельная работа – тест соответствия «Степенная функция». 10 мин

Самостоятельная работа проводится в виде тестирования на ноутбуках. Работа идет парами. Учащиеся садятся за ноутбук вдвоем, открывают тест, записывают фамилии и проходят тест. Результат теста фиксируется в текстовом документе, после урока копируется и прикладывается к разработке урока.

степенная функция.mtf

Тест "Степенная функция"

Задание #1

Вопрос:

Заключительная часть

6. Этап подведения итогов урока 3 мин

Подведение итогов урока, выставление оценок

7.Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению 2 мин

План – конспект урока:

«Степенная функция, её свойства и график»

ФИО Стадник Елена Ивановна

Место работы Санкт-Петербург, Пушкинский район ГБОУ школа№606 с

углубленным изучением английского языка.

Должность учителя математики

Предмет Математики

Класс 10

Тема и номер в теме «Степенная функция, её свойства и графики»

2 урок в теме(всего 2 урока)

Базовый учебник Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, Н.Е.Федорова и др.

«Алгебра и начала анализа 10-11»,учебник для образовательных учреждений Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации: 9-еиздание Москва Просвещение 2007г.

Цель урока: Формирование навыков применения знаний по данной теме при решении стандартных и нестандартных алгебраических задач. Формирование способности к интеграции знаний из различных тем курса математики

Задачи:

Образовательные: (формирование познавательных УУД)

уметь сравнивать числа, решать неравенства с помощью графиков и (или) свойств степенной функции

Воспитательные: (формирование коммуникативных и личностных УУД)

воспитывать устойчивый интерес к предмету, формировать коммуникативную компетенцию учащихся, воспитывать ответственность и аккуратность

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Методы: обсуждение, наблюдение, сравнение, опыт.

Оборудование: доска, мультимедиа – оборудование, интерактивная доска, компьютер, раздаточный дидактический материал, плакат с графиками к №126(2;3)

Ход урока:

1.Организационный момент: (2 мин.) на повторение теории по опорному конспекту.

2.Проверка домашнего задания по группам. (10 мин.)

Обязательный уровень (1группа)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

№119(2,4,6) с места указывают D (f ),E (f ) в виде числовых промежутков и номер рисунка по опорному конспекту.(см приложение 1)

Образец ответа:

№119(2): D (f )=(); E (f ) =(),рис2

№119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f ) =(0; ),рис3

№119(6):): D (f )= ; ); E (f ) = ; ),рис5

№124(2) с места

Образец ответа:

По рис.13 из учебника график

лежит выше графика функции

.

№128.На доске 1 ученик записывает ответы на вопросы и строит схематически графики функций.

Образцы ответов

2) ; D (f )= ; );

E(f) = ; );

4) ; D (f )=(-1; ); E (f ) =(0; );

Углубленный уровень (2 группа) пока учитель с 1 группой проверяет Д/З, ученики 2 группы выполняют карточки. А один ученик у доски №129(2,4) Образец ответа:

D ()=R ; E () = ; );

4) . D ()=R ; E () = ; );

Карточка 1 вариант.

Карточка 2 вариант.

№1.Изобразите схематически графики функций:

№2.Найти координаты точек пересечения графиков функций:

III . Актуализация опорных знаний: (12 мин.)

1.Укажите область определения и множество значений функции:

,

2.Какими возрастающими или убывающими являются данные функции:

,

3.Дана функция

Записать в тетрадь вывод

Для всех функций

4. №122(устно). Пользуясь свойствами степенной функции,сравнить с единицей:

Образец ответа:

№126(1) - у доски (№126(2,3) самостоятельно по вариантам).

Образец ответа:

В одной системе координат построить графики функций.

IV . Выполнение упражнений. (4 мин.)

№125(1,3,5,7) под диктовку.

Сравните значение выражений:

Образец ответа: (ещё раз обратимся к опорному конспекту)

3) ; т.к. и функция;

5) ; т.к. ; и функция – убывающая;

7) ; т.к. и функция - возрастающая.

V . Домашнее задание: (1 мин.)

1группа - №№ 125(четные),175 (2,6), 177(1,3)

2 группа - №№ 184(2,4),177(2,4),182(2,3).

VI . Итоги урока: (3мин.) Учащиеся формулируют главные выводы урока:

Если показатель степени не целое число, то график функции располагается в I четверти.

Если показатель степени положительное не целое число, функция возрастает.

Если показатель степени отрицательное не целое число, то функция убывает. (показ слайдов)

VII . Тест (10 мин.) (см приложение 2) В1 и В2 на «4» и «5» , В3 и В4 – обязательный уровень (по одному баллу за верный ответ).

VIII . Дополнительные задания. (3 мин.)

Решить уравнение: Вар1.

Ответ:-1;6. Ответ:-4;4.

На прошлом занятии мы повторили и обобщили знания по теме «Понятие о показателе степени».

Вспомним, что если - пэ делённое на ку обыкновенная дробь, причём ку не равно единице и а больше или равно нулю, то под выражением а в степени пэ делённое на ку понимают корень степени ку из а в степени пэ.

Например, число одна целая три десятых в степени три седьмых можно записать как, корень седьмой степени из числа одна целая три десятых в кубе.

Функции вида, где k-любое действительное число, принято называть степенными функциями.

Сегодня мы рассмотрим случай, если k-рациональный (дробный) показатель.

В курсе алгебры 7-9 классов вы изучали свойства и графики степенных функций с натуральным показателем. Функция (k-любое действительное число), степенная функция.

При k=n (n∈N), -степенная функция с натуральным показателем.

Вспомним графики таких функций.

Графиком функции или у=х (игрек равен икс в первой степени или игрек равный икс) является прямая.

Графиком функции (игрек равен икс в квадрате) является парабола.

Графиком функции (игрек равен икс в кубе) является кубическая парабола.

График степенной функции (игрек равен икс в степени ка) в случае чётного k — похож на параболу. На рисунке показан график степенной функции при k равном шести.

График степенной функции (игрек равен икс в степени ка) в случае нечётного k - похож на кубическую параболу. На рисунке показан график степенной функции при k равном семи.

В случае если в показателе степенной функции целое отрицательное число, то получим функцию вида: игрек равное икс в степени минус эн или игрек равен один делённое на икс в энной степени.

Если n — чётное число, то график имеет вид, изображённый на рисунке.

Где показана функция у=х-2, или у=

Если n — нечётное число, то график имеет следующий вид.

На чертеже изображена функция у=х-3, или у=

Если показатель степенной функции равен нулю, то функция примет вид: .Графиком такой функции является прямая, проходящая через ординату один и параллельная оси абсцисс.

При k=-n (n∈Z), -степенная функция с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим степенную функцию (игрек равное икс в степени k), где k — отрицательное или положительное дробное число.

В качестве примера построим график степенной функции (игрек равен икс в степени две целых три десятых).

Областью её определения (то есть все значения, принимаемые икс) является луч с началом в точке ноль.

В этой области определения построим графики функций (игрек равное икс в квадрате) — это ветвь параболы, выделенная светло зелёным цветом и (игрек равное икс в кубе) - ветвь кубической параболы, выделенная тёмно-зелёным цветом.

Нетрудно убедиться в том, что на интервале (0;1) кубическая парабола расположена ниже параболы, а на открытом луче (1;+) — выше.

Обратите внимание, что графики функций (игрек равен икс в квадрате), (игрек равен икс в степени две целых три десятых) и (игрек равен икс в кубе) проходят через точки (0;0) и (1;1).

При остальных значениях аргумента икс график функции (игрек равен икс в степени две целых три десятых) находится между графиками функций (игрек равен икс в квадрате) и (игрек равен икс в кубе).

Аналогично обстоят дела с любой степенной функцией, где — неправильная дробь, то есть числитель m больше знаменателя n. Графиком этой функции является кривая, похожая на ветвь параболы.

Чем больше показатель функции k, тем «круче» устремлена ветвь.

На рисунке показан график функции игрек равен икс в степени семь вторых.

Таким образом, можно выделить следующие свойства степенной функции игрек равен икс в степени эм делённое на эн, где числитель m больше знаменателя n.

1. Областью определения являются значения икс от нуля до плюс бесконечности.

4.Снизу ограничена осью абсцисс, сверху не ограничена.

5.Функция принимает наименьшее значение нуль; наибольшего значения не имеет.

8.Выпукла вниз.

Построим график функции, где -правильная дробь(числитель меньше знаменателя) и 0< <1.

Рассмотренные ранее свойства и график функции (игрек равен корень энной степени из икс) или (игрек равен икс в степени один делённое на эн), применимы так же и к функции, где -правильная дробь и 0< <1.

Вспомним эти свойства:

1. Областью определения являются все значения икс от нуля до плюс бесконечности.

2. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Функция возрастает на всей области определения.

5. Функция принимает наименьшее значение ноль; наибольшего значения не имеет.

6. Функция непрерывна на всей области определения.

7. Областью значения функции являются значения игрек от нуля до плюс бесконечности.

8.Выпукла вверх. функция, где -правильная дробь(числитель меньше знаменателя) и 0<

2. Ни чётная ни нечётная.

3. Возрастает на.

4. Снизу ограничена осью абсцисс, сверху не ограничена.

5. yнаим=0; наибольшего значения не имеет.

6.Непрерывна.

8. Выпукла вверх.

Рассмотрим следующий вид степенной функции — функцию вида: игрек равен икс в степени минус эм делённое на эн.

Ранее мы построили график степенной функции с целым отрицательным показателем игрек равен икс в степени минус k, где k - натуральное число.

В случае если икс больше ноля, график этой функции похож на ветвь гиперболы.

Аналогичным образом строится график любой степенной функции с отрицательным рациональным (дробным) показателем.

Следует иметь в виду, что график такой функции имеет две асимптоты: горизонтальную — игрек равен нулю и вертикальную асимптоту — икс равен нулю.

Итак, степенная функция игрек равен икс в степени минус эм делённое на эн обладает следующими свойствами (причём икс больше нуля, так как в случае отрицательного основания с отрицательным показателем степень выражения не имеет смысла):

1) Область определения — открытый луч от нуля до бесконечности.

2) Функция не является ни чётной, ни нечётной.

3) Функция убывает на всей области определения.

4) Снизу ограничена осью абсцисс, сверху не ограничена.

5) Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения.

6) Функция непрерывна на всей области определения.

7) Областью значения функции являются значения игрек от нуля до плюс бесконечности.

8) Выпукла вниз.

Свойства степенной функции (x 0):

2). Ни чётная ни нечётная.

3). Убывающая.

4). Снизу ограничена осью абсцисс, сверху не ограничена.

5). Не имеет наименьшего и наибольшего значения.

6). Непрерывна на

8). Выпукла вниз.

Вы уже знаете, что производная степенной функции вида игрек равен икс в степени эн, где n — натуральное число, равна n умноженное на икс в степени n минус один.

Аналогично можно вычислить производную степенной функции с рациональным показателем.

Таким образом, верна следующая теорема:

Если икс больше нуля и r — произвольное рациональное число, то производная степенной функции игрек равна икс в степени r, и вычисляется по формуле: производная икс в степени r равна r умноженное на икс в степени r минус один.

Например, производная а в минус третьей степени равна минус три а в степени минус четыре.

Производная икс в степени минус две третьих равна минус две третьих икс в степени минус пять третьих.

Здесь минус один представили в виде неправильной дроби три третьих, затем сложили дроби минус две третьих и минус три третьих.

Теорема: если x>0, r-рациональное число, то

Не составляет труда получить соответствующую формулу для интегрирования степенной функции при r не равном одному. Итак, неопределённый интеграл от икс в степени r равен икс в степени r плюс один, делённое на r плюс один и плюс константа цэ.

Не сложно понять, что функция равна икс в степени r плюс один, делённое на r плюс один является первообразной для функции игрек равен икс в степени r. Формула для интегрирования степенной функции:

Функция первообразная для функции.

Рассмотрим применение полученных знаний при построении графика степенной функции.

Построить график функции игрек равен икс плюс два в степени одна вторая.

1.Построим график функции икс в степени одна вторая. Это функция вида, где -правильная дробь (числитель меньше знаменателя) и 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2.Очевидно, что график функции игрек равен икс плюс два в степени одна вторая строится с помощью параллельного переноса относительно оси икс на две единицы влево. На рисунке график выделен зелёным цветом.

Построить график функции

1. -частный случая для функции вида, где -правильная дробь(числитель меньше знаменателя) и 0< <1.

2. График получен параллельным переносом вдоль оси X на 2 единицы влево.

Цели урока:

Обучающая :

• познакомить учащихся со степенными функциями и их свойствами,
• учить навыку применения свойств функций в решении уравнений графическим способом и в сравнении чисел.

Развивающая :

• развитие индуктивных и дедуктивных навыков мышления.

Воспитательная :

• привитие навыков активной учебной деятельности.

Формы работы на уроке:

• коллективная,
• устная,
• письменная.

Оборудование :

• мультимедийный проектор,
• компьютер,
• презентация ,
• диск “Новые возможности для усвоения курса математики 5-11”.

Структура урока:

1. Организационный момент
2. Постановка домашнего задания
3. Проверка домашнего задания
4. Изучение нового материала
5. Применение изученного материала
6. Самостоятельная работа (с проверкой в классе)
7. Подведение итогов урока

Ход урока

1.Постановка дом. задания

Дома: п22 №499, 501,508(учебник Ю.Н.Макарычев)

2.Проверка дом. задания с помощью презентации (Приложение 1)

(учащимся было предложено построить графики и перечислить свойства следующих функций: у = х, у = х 2 , у = 1/х, у = vх, у = х 3

3.Изучение нового материала.

Функция вида у=х к, где k- целое число называется степенной функцией. Те функции, которые рассматривались дома – степенные.

у = х, к=1 у = 1/х, к=-1

у = х 2 , к=2 у = vх, к=1/2

у = х 3 , к=3

Наша задача построить графики и перечислить свойства степенных функций при любом целом к.

С помощью диска учащиеся наблюдают, как меняется график функции в зависимости от к, делают выводы, которые записывают в тетрадь. (В виртуальной лаборатории диска можно построить график любой функции, в том числе и степенной. Если менять значения показателя, то и график меняет свой вид, поэтому выводы очевидны).

1) у=х 2п, п €N график функции парабола

(Рисунок 1)

2)у=х 2п+ 1 график функции кубическая парабола

(Рисунок 2)

3)у = 1/ х 2п+ 1 график функции гипербола

(Рисунок 3)

4)у = 1/ х 2п график данной функции не знаком учащимся, строим его в тетради и перечисляем свойства данной функции.

(Рисунок 4)

а) О.О.Ф. х-любое, кроме 0

б) Е(у): у>0

в) Н.Ф. нет

г) четная

д) возрастает при х < 0, а убывает при х > 0

е) наибольшего и наименьшего значения нет

4.Рассмотрим применение свойств функций в решении задач.

1)Решите уравнение 1/х 2 =3х-2

Учащиеся предлагают различные способы и приходят к выводу, что можно решить данное уравнение графически. График функции у=1/х 2 уже построен, осталось построить в этой же координатной плоскости график функции у = 3х-2.

(Рисунок 5)

Ответ: х=1.

2) у= х 2п, сравните:

f(-0,2) и f(-3)

3) у=х 2п+ 1 , сравните:

f(-0,2) и f(-3)

(задание выполняется вместе с учителем)

В ходе решения обращаемся постоянно к графику нужной функции, устанавливаем к какому интервалу принадлежат х, как ведет функция себя на этом интервале

5. Самостоятельная работа.

Задание на слайде.

Самопроверка

Последнее задание предлагается для более подготовленных учащихся.

6. Подведение итогов урока.

Обобщаем материал, рассмотренный на уроке. Акцентируем внимание на том, что график и свойства степенной функции зависят от показателя.

Содержание учебного материала:

1.Степенная функция, определение, обозначение.

2.Основные свойства степенной функции.

3.Графики степенной функции и их особенности.

4. Вычисление значений функций по значению аргумента. Определение положения точки на графике по ее координатам и наоборот.

5.Использование свойств функций для сравнения значений степеней.

Степенной называют функцию вида y = x r , где х- основание степени,

r – показатель степени, Свойства степенной функции определяются её показателем. Рассмотрим основные свойства степенных функций с различными показателями и их графики.

а) Свойства функции y = x r , r > 1

D(х) = }